3.13. Принцип невизначеності

Принцип невизначеності — важливе положення квантової механіки, відкрите 1927 р. німецьким фізиком Вернером Гайзенбергом (1901—1976). Гайзенберг показав, що внаслідок корпускулярно-хвильової двоїстості матерії неможливо одночасно точно визначити положення частинки та її швидкість. Він показав також неможливість точного визначення енергії системи в той чи інший момент часу.

Принцип невизначеності в квантовій механіці тісно пов'язаний із невизначеністю рівняння, що встановлює залежність між частотою і часом для будь-якого виду хвиль. Розглянемо, наприклад, хвилі океану, що омивають буй, закріплений на якорі в певній точці. Спостерігач на буї може виміряти частоту (кількість хвиль, що минають буй за одиницю часу) у момент t₀ і шляхом підрахунку кількості гребенів і западин, що минають буй в інтервалі між t₀–Δt і t₀+Δt, ділення на 2 для одержання кількості хвиль, що пройшли за проміжок часу 2Δt, і ділення на 2Δt для одержання частоти (ν), яка визначається як кількість хвиль за одиницю часу:

$\nu=\frac{кількість гребенів + кількість западин}{2\times2\triangle t}$

Результат такого вимірювання дає середнє значення за період 2Δt поблизу t₀; це можна описати як результат, знайдений для моменту часу t₀ з невизначеністю Δt. Існує також невизначеність і в частоті. Гребінь A (рис. 3.18) можна врахувати під час підрахунку, а можна й не враховувати, як і западину Z. Таким чином, існує невизначеність, що дорівнює приблизно 2 у кількості гребенів плюс кількість западин, а отже, близько 1/2 Δt; у частоті

$\triangle\nu = \frac{2}{2 \times2\triangle t}=\frac{1}{2\triangle t}.$

Рис. 3.18. Схема, що ілюструє невизначеність значення частоти, яке встановлюють підрахунком кількості хвиль, що проходять через даний пункт за певний період часу.

Це рівняння можна переписати у вигляді Δν × Δt = 1/2. Докладніший розгляд, заснований на положеннях теорії похибок, призводить при визначенні Δν і Δt до звичайної форми рівняння невизначеності для частоти і часу:

$\triangle\nu\times\triangle t=\frac{1}{2\pi}.$ (3.8)

На підставі квантової теорії це рівняння легко можна перетворити на рівняння невизначеності енергії та часу для фотонів. Енергія фотона з частотою ν дорівнює hν. Невизначеність частоти Δν, помножена на h, являє собою невизначеність енергії ΔE

ΔE=hΔν.

Підставляючи це співвідношення в рівняння (3.8), дістанемо рівняння невизначеності енергія-час

$\triangle E\times\triangle t=\frac{h}{2\pi}.$ (3.9)

Шляхом аналізу результатів багатьох експериментів, проведеного на основі квантової теорії, встановлено, що це співвідношення дотримується для будь-якої системи. Лише вимірюючи енергію системи протягом тривалого періоду, можна одержати результати з невеликою похибкою.

Натрій у газоподібному стані, збуджений електричним розрядом, випромінює жовте світло (D-лінії з довжиною хвилі 589,0 і 589,6 нм). Швидкість, з якою випромінюються фотони D-ліній, було визначено вимірюванням інтенсивності цих ліній як ліній поглинання газоподібного натрію. З'ясувалося, що ця швидкість відповідає середньому часу життя збуджених станів 1,6·10^-6 с або 1,6·10⁻⁸ с (на думку редакції сайту). (Середній час життя більшості збуджених станів атомів має приблизно таке саме числове значення.) Чи призводить це значення середнього часу життя до розширення спектральних ліній? 

 Розв'язання. Використаємо принцип невизначеності для підтвердження того, що послідовність хвиль, яка відповідає фотону, випроміненому атомом, утворилася протягом часу, приблизно рівного середньому часу життя збудженого стану атома. Частота, що відповідає довжині хвилі λ =0,589·10^-6 м, дорівнює ν = c/λ=3·10⁸/0,589·10^-6=5,09·10¹⁴ с^-1. Невизначеність частоти, що відповідає невизначеності часу Δt=1,6·10^-8 с, згідно з рівнянням (3.8), дорівнює Δν=1/(2π×Δt) —1/(2π×1,6·10^-8) =1,00·10⁷ с^-1. Таким чином, відносна невизначеність частоти становить Δν/ν= 1,00·10⁷/5,09·10¹⁴= 1,96·10^-8. Це водночас є й значенням Δλ/λ — відносної невизначеності довжини хвилі. Звідси можна розрахувати й величину Δλ= 1,96·10^-8×0,589·10^-6= 1,15·10^-14 м.

Отже, невизначеність частоти цих ліній зумовлює ширину лінії, яка становить приблизно 1/50 000 000 довжини хвилі. Таке розширення лінії зазвичай маскується іншими ефектами. Проте деякі збуджені стани атомів, енергія яких перевищує енергію іонізації, мають середній час життя лише 10^-12 с через дуже швидкий розпад на електрон і позитивний іон, і спектральні лінії, що утворюються за участю цих станів як вищих станів, виходять приблизно на 0,1 нм ширшими.

Із принципу невизначеності між положенням частинки та її імпульсом випливає, що добуток невизначеності в одній з координат x, y, z, які описують положення, наприклад Δx, і невизначеності у відповідній складовій імпульсу Δ(mv_x) дорівнює або більший за h/2π:

$\triangle x\times\triangle (mv_{x})\geq\frac{h}{2\pi}.$ (3.10)

3.1. Яке спрощення, важливе для розуміння природи електрики, запропонував Бенджамін Франклін? Яке з його припущень тепер вважається помилковим?

3.2. Хто й коли запропонував назву «електрон»? Хто й коли експериментально відкрив електрон? Де це було зроблено?

3.3. Скільки електронів міститься в 1 кг електронів? Скільки електронів в 1 Кл?

3.4. Коли Резерфорд установив, що атоми мають дуже маленькі й водночас дуже важкі ядра? Що означає в цьому реченні «дуже важкі»?

3.5. Скільки протонів міститься в 1 кг протонів? Скільки нейтронів у 1 кг нейтронів? Як ці числа співвідносяться з числом електронів в 1 кг електронів? Чому дорівнює електричний заряд (Кл) протона й електрона?

3.6. З чого складаються ядра звичайного Гідрогену, дейтерію та Гелію?

3.7. Що таке електричне поле? Що таке магнітне поле?

3.8. Сформулюйте закон притягання чи відштовхування між двома електрично зарядженими частинками. Як змінюється сила, що діє між двома зарядженими частинками, якщо:

а) відстань між ними збільшується вдвічі?

б) заряд однієї з частинок збільшується вдвічі?

в) заряди обох частинок збільшуються вдвічі?

3.9. Опишіть рух електрона, що перетинає простір між двома паралельними пластинами, які несуть протилежні електричні заряди. Опишіть також рух електрона, що перетинає простір між полюсами магніту.

3.10. Опишіть експерименти Жана Перрена й Дж. Дж. Томсона, що дали змогу відкрити електрон.

3.11. Опишіть дослід Мілікена з олійними краплями. Чому необхідно знати в'язкість повітря, щоб за даними вимірювань обчислити величину заряду електрона?

3.12. Які несподівані спостереження привели до відкриття рентгенівських променів і радіоактивності? Хто й коли їх відкрив?

3.13. Що таке альфа-, бета- і гамма-промені? У чому полягає відмінність між гамма- і рентгенівськими променями?

3.14. Опишіть дослід Резерфорда й поясніть, чому зроблені ним спостереження свідчать про те, що більша частина маси атома зосереджена в дуже невеликій частинці — ядрі. 

3.15. Яке існує співвідношення між довжиною хвилі, швидкістю хвилі та частотою? У яких одиницях вимірюються ці величини?

3.16. Накресліть схему спектра електромагнітних хвиль, що показує довжини хвиль, частоти та прийняті назви для різних ділянок спектра.

3.17. Що являє собою фотон і яка його енергія, виражена через довжину хвилі? Вкажіть одиниці вимірювання

3 18. Чому дорівнює енергія кванта синього світла з довжиною хвилі 450 нм? Чому дорівнює енергія кванта червоного світла з довжиною хвилі 700 нм?

3.19. Яка мінімальна довжина хвилі рентгенівського випромінювання, що випускає трубка, яка працює під напругою 1 000 000 В?

3.20. Обчисліть швидкість, з якою рухатимуться електрони в установці, застосованій Дж. Дж. Томсоном, при прискорювальному потенціалі 6000 В. (Відносною зміною маси можна знехтувати.)

3.21. У прикладі 3.6 цього розділу наведено розрахунок, згідно з яким світло, що падає на 1 см² поверхні Землі в сонячний день, може спричиняти фотострум силою 5,22 мА.

а) Якій напрузі у вольтах відповідає довжина хвилі 650 нм (середня довжина хвилі сонячного світла)?

б) Прийнявши, що сонячна електростанція працює в середньому 6 год/добу з ККД 10%, розрахуйте середню потужність сонячної електростанції, що працює в пустелі та має поверхню сонячних батарей 100 км². [Відповідь: а) 1,91 В; б) 25 МВт.]