3.10 Квантова теорія світла. Фотон

Світло (електромагнітне випромінювання) відіграє таку важливу роль у багатьох хімічних явищах, що необхідно розглянути його природу й деякі властивості.

У XIX ст. було встановлено, що світло може виникати внаслідок коливального руху електричного заряду. Такий рух електричного заряду спричинює коливні зміни в електричному полі, яке оточує заряд, і ці зміни поширюються в просторі зі швидкістю світла 3,00·10⁸ м·с^-1.

Суть хвильового руху можна виразити синусоїдою, наведеною на рис. 3.12. Ця крива може стосуватися, наприклад, профілю хвиль на поверхні океану в певний момент. Відстань між двома сусідніми гребенями називають довжиною хвилі і звичайно позначають λ (грецька літера «лямбда»). Висоту гребеня (яка дорівнює водночас глибині западини між гребенями) відносно середнього рівня хвилі називають амплітудою хвилі. Якщо хвилі рухаються зі швидкістю c м·с^-1, то частота хвиль, яку позначають символом ν (грецька літера «ні»), дорівнює c/λ; частота виражає число хвиль, що проходять за час (1 с) через нерухому точку. Розмірність довжини хвилі та сама, що й розмірність довжини. Розмірність частоти — число хвиль за секунду [час^-1]. Очевидно, добуток довжини хвилі на частоту [довжина] × [час^-1] має розмірність швидкості. Довжина хвилі λ, частота ν і швидкість c зв'язані рівнянням:

 λ·ν=c (3.1)

У випадку світлової хвилі вважають, що синусоїдна крива (рис. 3.12) подає величину електричного поля в просторі.

Рис. 3.12. Схема, що ілюструє хвильовий рух.

Рис. 3.13. Схематичне зображення хвиль на поверхні води; хвилі б'ються об дамбу ліворуч, а хвилі, що потрапляють у прохід у дамбі, поширюються далі по колах.

Рис. 3.14. Взаємне гасіння й підсилення двох серій колових хвиль, що поширюються від двох проходів у дамбі.

Електричне поле світлової хвилі перпендикулярне до напрямку поширення променя світла.

Явище інтерференції хвиль використовують для визначення довжини хвилі світла й рентгенівських променів. Це проілюстровано на рис. 3.13 і 3.14. На першому з них показано хвилі на воді, що б'ються об дамбу, у якій є невеликий прохід. Хвилі, які вдаряються об дамбу, розсіюють свою енергію, передаючи її каменям дамби. Проте та частина хвиль, що потрапляє в наявний прохід, спричинює хвилі по інший бік дамби. Там виникають колові хвилі, що поширюються від проходу. Ці колові хвилі мають ту саму довжину, що й хвилі, які вдаряються об дамбу. Якщо світло або рентгенівські промені падають на атоми, то частина енергії падаючого світла розсіюється атомами. Кожен атом розсіює навколо себе колові хвилі. Якщо два атоми, збуджені однаковими падаючими хвилями, розсіюють світло так, як показано на рис. 3.14, то в деяких напрямках поширення колових хвиль (сферичних хвиль у випадку атомів у тривимірному просторі), що виходять від двох розсіювальних центрів, хвилі взаємно підсилюються, внаслідок чого утворюються хвилі з амплітудою, удвічі більшою за амплітуду кожної з колових хвиль; в інших напрямках, де западини одних колових хвиль збігаються з гребенями інших, має місце інтерференція*. Напрямки підсилення та інтерференції для колових хвиль від двох джерел показано на рис. 3.14.

Рис. 3.15. Найпростіший спектроскоп. Світло від джерела розкладається скляною призмою і дає спектр; замість скляної призми можна використати дифракційну ґратку. 1 — спектр; 2 — телескопічна система; 3 — призма; 4 — колиматор; 5 — діафрагма; 6 — джерело світла.

Прийнято вважати, що в радіодіапазоні хвилі мають довжину від 1 м і більше, в мікрохвильовій ділянці близько 1 см, в інфрачервоній ділянці приблизно від 800 нм до 1 мм, в ділянці видимого світла від 380 до 800 нм, в ультрафіолетовій ділянці приблизно від 10 до 380 нм, в ділянці рентгенівського випромінювання приблизно від 10 пм до 10 нм і в ділянці гамма-випромінювання близько 10 пм і менше. В інфрачервоній, видимій та ультрафіолетовій ділянках довжини хвиль визначено за допомогою скляної призми або дифракційної ґратки (рис. 3.15), а довжини хвиль рентгенівського й гамма-випромінювання встановлено під час вивчення їхньої дифракції на кристалічних ґратках. Повний спектр світлових хвиль (і всіх інших електромагнітних хвиль) показано на рис. 19.6; послідовність кольорів у видимій ділянці спектра також показано на цьому рисунку (другий спектр зверху).

Атоми й молекули газів під час нагрівання або збудження їх електричною іскрою випускають світлове випромінювання з певними довжинами хвиль. Таке світло, яке випускають атоми й молекули за вказаних умов, і є їхнім спектром випромінювання. На рис. 19.6 наведено спектри випромінювання лужних металів, ртуті та неону. Спектри випромінювання елементів, особливо металів, дають змогу ідентифікувати ці елементи, і спектроскопічний хімічний аналіз став важливим методом аналітичної хімії. Прилад, що має дифракційну ґратку або призму для розкладання світла на складові його хвилі й для визначення довжини цих хвиль, називають спектроскопом. Схему простого спектроскопа наведено на рис. 3.15. За допомогою такого приладу німецький хімік Роберт Вільгельм Бунзен (1811—1899) відкрив 1860 р. рубідій і цезій. Спектроскоп було винайдено лише роком раніше фізиком Кірхгофом, і цезій став першим елементом, відкритим спектральним методом.

В останні роки XIX ст. було виявлено, що світло, яке виходить з отвору в нагрітому порожнистому тілі, не має характеристичних ліній випромінювання — його інтенсивність плавно змінюється зі зміною довжини хвилі, причому такий розподіл інтенсивності світла залежить від температури й не залежить від природи нагрітого тіла. Фізики-теоретики, які займалися проблемою випромінювання світла нагрітими тілами, ще до 1900 р. дійшли висновку, що на основі уявлень про випромінювання й поглинання світла коливними молекулами нагрітого тіла вони не можуть пояснити спостережуваний розподіл енергії випромінювання. Тоді німецький фізик Макс Планк (1858—1947) висловив думку про можливість створення задовільної теорії за припущення, що нагріті тіла не можуть випускати або поглинати світло певної довжини хвилі в довільно малих кількостях, а повинні випускати або поглинати лише певний квант світла, характерний для даної довжини хвилі. Хоча теорія Планка не вимагала вважати саме світло таким, що складається з порцій енергії — світлових квантів, або фотонів, Ейнштейн уже 1905 р. вказав на низку інших обставин, які підтверджують цю концепцію.

Планк установив, що кількість світлової енергії, яку тверде тіло поглинає або випромінює за один акт, пропорційна частоті ν (що дорівнює c/λ):

E=h·ν (3.2)

У цьому рівнянні E — кількість світлової енергії з частотою ν, випроміненої або поглиненої в одиничному акті, і h— константа пропорційності. Стала h— одна з фундаментальних сталих природи; на ній тримається вся квантова теорія. Її називають сталою Планка; вона має таке значення:

h=0,66252·10^-33 Дж·с. (3.3)

[Одиниця, в якій виражено величину h (Дж·с), має розмірність енергії, помноженої на час, що відповідає рівнянню (3.2).]

З наведених співвідношень видно, що світло з коротшими довжинами хвиль складається з більших квантів енергії, а світло з довшими хвилями складається з менших квантів енергії. Деякі досліди, що дають змогу визначити величини таких квантів енергії, описано в наступному підрозділі.

Німецький фізик Генріх Герц (1857—1894), який відкрив радіохвилі 1887 р., помітив, що іскра між двома металевими електродами виникає за нижчої напруги в тому разі, якщо електроди піддано дії ультрафіолетового випромінювання. Трохи пізніше, 1898 р., Дж. Дж. Томсон установив факт випускання негативних зарядів металевою поверхнею під час освітлення її ультрафіолетовими променями. Схему простого приладу, що демонструє цей ефект, показано на рис. 3.16. Негативно заряджений електроскоп з'єднано з цинковою пластинкою. Якщо цинкову пластинку освітити ультрафіолетовим світлом, то електроскоп розряджається, а це й свідчить про віддалення негативного електричного заряду під дією ультрафіолетового випромінювання. Якщо електроскоп має великий позитивний заряд, то пелюстки електроскопа не спадаються, електроскоп не розряджається, і це показує, що за аналогічних умов позитивні заряди не випускаються. Незаряджений електроскоп набуває заряду в тому разі, якщо металеву пластинку піддати дії ультрафіолетового світла; при цьому електроскоп виявляється зарядженим позитивно, що є доказом втрати металом негативних зарядів.

Рис. 3.16. Найпростіший дослід, що ілюструє фотоелектричний ефект. Цинкова пластинка, на яку падають ультрафіолетові промені, випускає негативні заряди. 1 — цинкова пластинка.

Дж. Дж. Томсону вдалося показати, що негативний електричний заряд, який віддаляється з цинкової пластинки під дією ультрафіолетового випромінювання, складається з електронів. Випускання електронів під дією ультрафіолетового або рентгенівського випромінювання називають фотоелектричним ефектом. Електрони, які віддає металева пластинка, називають фотоелектронами; за своїм характером вони не відрізняються від інших електронів.

Під час вивчення фотоелектричного ефекту було здобуто багато нових даних. Невдовзі після відкриття цього ефекту було встановлено, що видиме світло, яке падає на цинкову пластинку, не спричинює випускання фотоелектронів, тоді як ультрафіолетове світло з довжиною хвилі, що не перевищує приблизно 350 нм, спричинює їх появу. Максимальну довжину хвилі, яка виявляється в цьому відношенні ефективною, називають фотоелектричним порогом. 

Рис. 3.17. Фотоелемент. 1 — фотокатод; 2 — анод; 3 — гальванометр.

Для різних речовин характерні різні значення фотоелектричного порогу; особливо добрими фотоелектричними випромінювачами є лужні метали — їхній поріг лежить в ділянці видимого світла. Для натрію, наприклад, поріг становить приблизно 650 нм, так що на цей метал ефективно діє випромінювання більшої частини спектра видимого світла, за винятком лише червоної його частини.

Фотоелектрони, що випускаються, як було встановлено, мають додаткову кількість кінетичної енергії, яка залежить від довжини хвилі світла, що спричинює фотоефект. Для демонстрації цього явища можна використати прилад, який дещо нагадує фотоелемент, наведений на рис. 3.17. У цьому приладі фотоелектрони, що випускаються під час освітлення металу, концентруються на збиральному електроді: число електронів, які вдаряються об електрод, можна визначити, виміравши силу струму, що йде по дроту до цього електрода. Між електродом і металом, що випускає електрони, можна створити деяку різницю потенціалів. Якщо збиральному електроду надати невеликого негативного заряду, який потребуватиме виконання роботи для перенесення електронів з металу, що їх випускає, на збиральний електрод, то потік фотоелектронів до збирального електрода припиниться тоді, коли довжина хвилі падаючого світла буде близька до порогової, але збережеться, якщо довжина хвилі падаючого світла буде значно меншою за порогову. Шляхом подальшого збільшення негативного заряду збирального електрода можна настільки збільшити різницю потенціалів, що потік фотоелектронів до електрода припиниться.

1905 р. Ейнштейн пояснив ці спостереження на основі розробленої ним теорії фотоелектричного ефекту. Він висловив припущення, що світло, яке падає на металеву пластинку, складається з фотонів, які мають енергію hν, і що енергія кожного фотона під час поглинання світла металом повністю переходить в енергію фотоелектрона. Проте для виходу електрона з металу треба витратити певну кількість енергії. Цю кількість енергії можна позначити символом E_i (енергія іонізації металу). Енергія, що залишилася, буде кінетичною енергією фотоелектрона. Рівняння Ейнштейна для фотоелектричного ефекту має такий вигляд:

hν=E_i + 1/2mv², (3.4)

де m — маса електрона і v — його швидкість. Відповідно до цього широко відомого рівняння енергія світлового кванта hν дорівнює енергії, необхідній для виходу електрона з металу E_i, плюс кінетична енергія, що надається електрону і дорівнює 1/2mv². Рівняння Ейнштейна успішно пояснювало дані, здобуті під час спостереження фотоелектричного ефекту, і ця обставина значною мірою сприяла визнанню ідеї про існування світлових квантів.

Безпосередньо виміряти швидкість електронів важко. Замість швидкості доводиться знаходити величину кінетичної енергії 1/2mv², для чого слід виміряти різницю потенціалів V, яку необхідно прикласти, щоб запобігти потраплянню фотоелектронів на збиральний електрод; добуток величин різниці потенціалів V і заряду електрона e визначає кількість роботи, що виконується проти електростатичного поля; якщо V точно дорівнює значенню різниці потенціалів, необхідному для запобігання потраплянню електронів на збиральний електрод, то справджується співвідношення

eV=1/2mv².

Підставляючи його в рівняння (3.4), дістаємо співвідношення

eV=hν — E_i

або

V=hν/e — E_i/e (3.5)

Фотоелементи застосовують в апаратурі для демонстрації звукових кінофільмів, у телевізійних установках, у пристроях для автоматичних дверей і для багатьох інших практичних цілей. Фотоелемент можна виготовити нанесенням тонкого шару лужного металу на внутрішню поверхню невеликої вакуумної лампи, як показано на рис. 3.17. Щоб фотоелектрони притягувалися до збирального електрода, його заряджають позитивно. Освітлення металевої поверхні будь-яким випромінюванням з коротшою довжиною хвилі, ніж порогова, спричинює випускання фотоелектронів і, як наслідок, електричний струм у колі. Струм, що виникає, можна реєструвати амперметром. Встановлено, що сила струму пропорційна інтенсивності падаючого світла.

Яку кількість енергії несе 1 фотон (квант світла) з довжиною хвилі 650 нм?

Розв'язання. Кількість енергії фотона дорівнює hν, де h — стала Планка і ν — частота коливань. Частота коливань з довжиною хвилі λ дорівнює c/λ , отже,

ν=3·10⁸ / 650·10^-9 =4,62·10¹⁴ Гц (герц, або цикли за секунду).

Таким чином,

Енергія фотона = hν = 0,6625· 10^-33 Дж·с×4,62·10¹⁴ Гц = 0,306·10^-18 Дж. 

Яким має бути гальмівний потенціал, здатний зупинити потік фотоелектронів, що випускає поверхня металевого натрію, освітлювана світлом з довжиною хвилі 650 нм?

Розв'язання. Фотоелектричний поріг металевого натрію дорівнює 650 нм. Отже, фотоелектрони, що виникають, не мають кінетичної енергії: енергії фотона вистачає лише для вивільнення електрона з металу. Значить, як завгодно малий гальмівний потенціал достатній, щоб за цих умов зупинити потік фотоелектронів.

Яким має бути гальмівний потенціал, здатний зупинити потік фотоелектронів у фотоелементі з металевим натрієм, опромінюваним світлом з довжиною хвилі 325 нм?

Розв'язання. Використовуючи той самий метод розв'язання, що й у прикладі 3.2, слід розрахувати енергію кванта світла з довжиною хвилі 325 нм; дістаємо значення 0,612·10^-18 Дж. Цю задачу можна розв'язати значно простіше, якщо звернути увагу на ту обставину, що фотоелемент у даному випадку опромінюється світлом з довжиною хвилі рівно вдвічі меншою за порогову (650 нм); отже, частота цього світла ν, а також енергія фотона hν мають бути вдвічі більшими за порогові (приклад 3.2).

Частина цієї загальної енергії фотона, що дорівнює 0,306·10^-18 Дж, іде на вивільнення електрона з металу. Решта енергії, що також дорівнює 0,306·10^-18 Дж, перетворюється на кінетичну енергію фотоелектрона. Гальмівний потенціал, здатний сповільнити швидкість електрона до нульової, має бути таким, щоб добуток величини потенціалу на заряд електрона дорівнював зазначеній кількості енергії:

eV = 0,306·10^-18 Дж,

V=0,306·10^-18 Дж / 0,1602·10^-18 Кл= 1,91 В.

Таким чином, розрахунок показує, що гальмівний потенціал, необхідний для припинення потоку фотоелектронів у натрієвому фотоелементі, освітлюваному світлом з довжиною хвилі 325 нм, має дорівнювати 1,91 В.

У рентгенівській трубці електрони, що їх випускає катод, прискорюються під дією прикладеної різниці потенціалів V. Їхня кінетична енергія стає тоді рівною кількості енергії eV. Коли такий електрон, що рухається з великою швидкістю, вдаряється об анод, він швидко зменшує свою швидкість, можливо, навіть до нульової. Якщо його швидкість стає рівною нулю, то вся його енергія eV перетворюється на рентгенівське випромінювання (світло) з енергією hν і відповідною частотою ν. Частоту такого випромінювання можна, отже, розрахувати за рівнянням фотоелектричного ефекту eV=hν (енергією іонізації металу E_i можна в даному випадку знехтувати, оскільки вона мала порівняно з іншими величинами). Якщо під час сповільнення електрона його швидкість не падає до нуля, то частота рентгенівського випромінювання, що випускається, буде дещо меншою за граничне значення.

Цей процес виникнення фотонів з енергії швидкорухомих електронів називають оберненим фотоелектричним ефектом.

Рентгенівська трубка працює під напругою 50 000 В. Яке граничне значення довжини хвилі короткохвильового рентгенівського випромінювання, що його дістають у такій трубці?

Розв'язання. Енергія електрона, що вдаряється об анод рентгенівської трубки, дорівнює eV. Величина e становить 0,1602·10^-18 Кл, а V=50 000 В. Добуток eV, отже, дорівнює 8,010·10^-15 Дж. Ця величина дорівнює hν; таким чином, для частоти ν маємо

ν=8,010·10^-13 або 8,010·10⁻¹⁵ (на думку редакції сайту)/ 0,6625·10^-33 = 12,091·10¹⁸ Гц. 

Довжину хвилі λ можна обчислити, поділивши швидкість світла на одержане значення частоти:

λ=c/ν =3·10⁸/12,091·10¹⁸ Гц= 24,8·10^-12 м = 24,8 пм.

Таким чином, розрахунки показують, що в рентгенівській трубці, яка працює під напругою 50000 В, виникає випромінювання, довжина хвилі якого не може бути меншою за 24,8 пм.

Цікаво відзначити, що наведений вище розрахунок можна спростити, якщо замість послідовно застосовуваних формул скористатися узагальненим рівнянням

Довжина хвилі (нм) = 1240 / прискорювальний потенціал (В). (3.6)

З цього рівняння випливає, що квант світла з довжиною хвилі 1240 нм (близька інфрачервона ділянка) має таку саму енергію, яку набуває електрон під дією прискорювальної різниці потенціалів 1 В. Цю кількість енергії іноді називають 1 електронвольтом і записують скорочено 1 еВ.

Співвідношення між загальновживаними одиницями енергії подано в додатках I і II.

Пучок світла з довжиною хвилі 650 нм, що несе енергію 1·10^-2 Дж за 1 с, потрапляє у фотоелемент, де ця енергія повністю витрачається на утворення фотоелектронів. (Приблизно така кількість світлової енергії в ясний день падає на 1 см² поверхні Землі.) Яка сила фотоелектричного струму, що його спричинює це світло в колі фотоелемента?

Розв'язання. Енергія кванта світла з довжиною хвилі 650 нм дорівнює 0,306·10^-18 Дж. Значить, 1·10^-2 Дж/ 0,306·10^-18 Дж=3,27·10¹⁶ фотонів становлять таку кількість світла, яка несе 1·10^-2 Дж променистої енергії; саме ця кількість фотонів потрапляє за 1 с на метал фотоелемента. При цьому утворюватиметься рівно стільки ж фотоелектронів. Внаслідок множення цього числа на величину заряду електрона, що дорівнює 0,1602·10^-18 Кл, дістанемо 5,22·10^-3 Кл; це і є величина електричного заряду, що переноситься за 1 с, виражена в кулонах. За сили струму 1 А переноситься 1 Кл електрики за 1 с; у даному випадку пучок світла спричинює струм силою 5,22·10^-3 А, або 5,22 мА. (Див. також вправу 3.21.)

* Інтерференцією автор називає взаємне гасіння хвиль. Але в більшості випадків цей термін уживають у ширшому значенні: під інтерференцією розуміють як взаємне гасіння, так і взаємне підсилення хвиль. — Прим. перекл.