5.7. Теорія будови атома Гідрогену за Бором

Більша частина відомостей про електронну структуру атомів здобута внаслідок вивчення світла, яке випромінюють атоми, що перейшли у збуджений стан під дією високої температури, електричної дуги або електричного іскрового розряду. Світло, яке випромінюють атоми даного виду, можна розкласти й одержати спектр, що складається з ліній із цілком певними частотами; така характерна для даного атома система ліній називається лінійчастим спектром цього атома (рис. 19.6).

Рис. 5.7. Серія Бальмера в спектрі атомарного водню. Лінія праворуч, з найбільшою довжиною хвилі, — лінія H_α. Вона відповідає переходу зі стану з n=3 у стан з n=2.

Систематично вивчати лінійчасті спектри почали приблизно з 1880 р. Перші дослідники досягли певних успіхів в інтерпретації спектрів, у виявленні закономірностей, що пов'язують частоти спектральних ліній; було встановлено, наприклад, що частоти спектральних ліній атома Гідрогену порівняно з іншими атомами пов'язані найпростішими співвідношеннями, які буде розглянуто нижче. Цю закономірність видно з рис. 5.7, де відтворено частину спектра атома Гідрогену. Проте аж до 1913 р. не вдавалося інтерпретувати спектр атома Гідрогену на підставі електронних уявлень про його будову. 1913 р. Нільс Бор для розв'язання цієї проблеми успішно застосував квантову теорію, заклавши тим самим основу надзвичайно швидкого розвитку уявлень про природу матерії, якого було досягнуто за останні шістдесят років.

Атом Гідрогену складається з електрона і протона. Взаємодія їхніх електричних зарядів —e і +e відповідає закономірності, згідно з якою притягання між зарядами обернено пропорційне квадрату відстані між ними, подібно до того, як гравітаційна взаємодія між Землею й Сонцем визначається силою тяжіння, обернено пропорційною квадрату відстані між ними. Якби до атома Гідрогену були застосовні закони руху Ньютона, то можна було б очікувати, що електрон, маса якого мала порівняно з масою ядра, обертатиметься навколо ядра по еліптичній орбіті, подібно до того як Земля обертається навколо Сонця. Найпростішою орбітою електрона під час його руху навколо ядра було б коло, і закони руху Ньютона допускають, що таке коло може мати будь-які розміри відповідно до енергії системи.

Після відкриття електрона і протона цю модель розглянули фізики, які займалися питаннями будови атомів, і стало очевидно, що колишню теорію руху частинок (закони Ньютона), а також теорію електрики й магнетизму не можна застосувати до атома. Згідно з електромагнітною теорією, під час обертання електрона навколо ядра має виникати світло, частота якого має дорівнювати частоті обертання електрона в атомі. Таке випромінювання світла рухомим електроном подібне до випромінювання радіохвиль під час руху електронів туди й назад у передавальній радіоантені. Проте в міру того, як атом безперервно випромінював би енергію у вигляді світла, електрон мав би рухатися по спіралі, дедалі більше наближаючись до ядра, а частота його руху навколо ядра мала б безперервно зростати. Відповідно до цього за старими (класичними) теоріями руху й електромагнетизму атоми Гідрогену мали б давати спектр усіх частот (неперервний спектр). Але це суперечить експериментальним даним; спектр водню, який одержують у розрядній трубці, що містить атоми Гідрогену (які утворюються внаслідок дисоціації молекул водню), складається з дискретних ліній, як показано на рис. 5.7. Крім того, відомо, що об'єм, який займає атом Гідрогену в твердій або рідкій речовині, відповідає діаметру атома, що дорівнює приблизно 200 пм, тоді як колишні теорії атома Гідрогену не пояснювали, яким чином електрон утримується на певній відстані, а не наближається дедалі ближче до ядра, і діаметр атома не стає значно меншим за 200 пм.

Шляхи подолання цієї труднощі підказали Борові розроблена Планком квантова теорія випромінювання світла розжареними тілами та висунута Ейнштейном теорія фотоелектричного ефекту і світлового кванта. І Планк, і Ейнштейн припускали, що світло з частотою ν не випромінюється і не поглинається речовиною в довільно малих кількостях, а лише квантами енергії hν. Якщо атом Гідрогену, в якому електрон обертається навколо ядра по великій коловій орбіті, випромінює квант енергії hν, то після цього електрон має вже перебувати на значно відмінній від попередньої (меншій) коловій орбіті, що відповідає енергії атома, на hν меншій від його початкової енергії. Відповідно до цього Бор припустив, що атом Гідрогену може перебувати лише в певних станах, які називаються стійкими станами цього атома. Він припустив також, що один із цих станів — основний, або нормальний, стан — відповідає мінімуму енергії, якою може володіти атом; відповідно до цього він є найстійкішим станом атома. Решта станів, що характеризуються надлишком енергії порівняно з основним станом, називаються збудженими станами даного атома. Відповідно до ранішої праці Планка й Ейнштейна Бор припустив також, що під час переходу атома зі стану з енергією E'' у стан з енергією E' різниця енергій E''—E' дорівнює енергії випромінюваного кванта світла. Це рівняння

hν=E''—E' (5.1)

називають правилом частот Бора; воно дає значення частоти світла, що випромінюється під час переходу атома зі збудженого стану з енергією E''у стан з меншою енергією E'.

Таке саме рівняння застосовне до процесу поглинання світла атомами. Частота світла, що поглинається під час переходу від нижчого до вищого енергетичного стану, дорівнює різниці енергій вищого й нижчого енергетичних станів, поділеній на сталу Планка. Це рівняння застосовне також до процесу випромінювання й поглинання світла молекулами та складнішими системами.

Бор запропонував також метод розрахунку енергії стаціонарних станів атома Гідрогену (з використанням сталої Планка). Він установив, що точні значення енергії стаціонарних станів можна одержати, якщо припустити, що орбіти електронів є коловими, а момент імпульсу електрона для основного (нормального) стану дорівнює h/2π, для першого збудженого стану 2h/2π, для наступного збудженого стану 3h/2π і т. д.

У загальному випадку момент імпульсу електрона, що обертається по коловій орбіті навколо ядра (по орбіті Бора), згідно з теорією Бора, може набувати таких значень:

$\text{Момент імпульсу} = \frac{nh}{2\pi},$ (5.2)

де n=1, 2, 3,.... Число n, уведене таким чином у теорію Бора, називають головним квантовим числом орбіти Бора.

Встановлено, що радіус орбіти Бора дорівнює n²a₀, де

a₀=h²/4π²me²=53 пм.

У цьому рівнянні m — маса електрона, e — заряд електрона. Таким чином, радіус орбіти Бора для атома Гідрогену, що перебуває в нормальному стані, дорівнює 53 пм; радіус для першого збудженого стану в чотири рази більший за це значення, для наступного збудженого стану він більший у 9 разів і т. д., як показано на рис. 5.8.

Схему енергетичних рівнів для атома Гідрогену показано на рис. 5.9. Енергія електрона в n-му стаціонарному стані, згідно з теорією Бора, описується рівнянням

$E = - \frac{2\pi^{2}me^{4}}{n^{2}h^{2}}$ (5.3)

Користуючись правилом частот Бора, з цього виразу можна одержати таке рівняння для довжини хвилі світла, що випромінюється або поглинається під час переходу від n'-стаціонарного стану до n''-стаціонарного стану і навпаки:

  $\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi^{2}me^{4}}{ch^{3}}\left(\frac{1}{n^{\prime2}}-\frac{1}{n^{\prime\prime2}}\right)$ (5-4)

Підставляючи числові значення маси електрона, заряду електрона, швидкості світла і сталої Планка, дістанемо

  $\frac{1}{\lambda} = 109,678\left(\frac{1}{n^{\prime2}}-\frac{1}{n^{\prime\prime2}}\right)см^{-1\star}$ (5.5)

Це рівняння, в якому n'' і n' набувають різних цілочислових значень, описує лінії спектра водню.

Рис. 5.8. Орбіти Бора для електрона в атомі Гідрогену. Ці колові та еліптичні орбіти розглянуто в теорії Бора. Проте вони не дають правильного опису руху електрона в атомі Гідрогену. Відповідно до строгіших уявлень квантової механіки рух електрона навколо ядра атома Гідрогену по таких орбітах можна розглядати лише як перше наближення. У нормальному стані (n=11) рух електрона не колового, а радіальний (у напрямку до ЯДРА і від нього). Найімовірніша відстань електрона від ядра, згідно з квантовою механікою, така сама, як радіус орбіти за Бором.

Рис. 5.9. Діаграма енергетичних рівнів для атома Гідрогену.

Встановлено, що трубка, яка містить атоми Гідрогену в їхньому нормальному стані, не поглинає світла у видимій частині спектра, а поглинає лише випромінювання далекої ультрафіолетової ділянки. Лінія поглинання з найбільшою довжиною хвилі має λ=121,6 нм. На скільки більша енергія збудженого стану атома Гідрогену, в який він переходить із нормального стану внаслідок поглинання кванта цього світла?

Розв'язання. Частота поглинутого світла дорівнює

ν= c/λ= (2,998·10⁸ м·с^-1)/(1,216·10^-7 м) = 2,467·10¹⁵ Гц.

Енергія кванта світла дорівнює hν. Це і є надлишок енергії збудженого стану порівняно з енергією нормального стану атома Гідрогену. Звідси відповідь на поставлене запитання буде такою:

hν = 0,6624·10^-33 Дж·с×2,467·10¹⁵ Гц = 1,634·10^-18 Дж.

Цю величину можна перерахувати звичайним способом в електронвольти; у такому разі відповідь буде 10,20 еВ. Точно такий самий результат можна просто одержати, застосувавши рівняння (3.6): 1240/121,6 нм = 10,20 еВ.

Користуючись даними, наведеними на рис. 5.7, визначте енергію переходу атома Гідрогену зі стану n=2 у стан n=3.

Розв'язання. З рис. 5.7 видно, що довжина хвилі лінії H_α-серії Бальмера спектральних ліній водню, яка відповідає переходу зі стану n=3 у стан n=2 (або з n=2 у n=3, що відбувається під час поглинання, а не випромінювання світла), дорівнює 656,47 нм. Підставляючи це значення в рівняння (3.6), знаходимо шукану енергію переходу: 1240/656,47 нм=1,889 еВ. 

* Величина см^-1 (обернений сантиметр, або хвильове число) — прийнята одиниця частоти й енергії в спектроскопії.