4.11. Рівняння ідеального газу

Цікаво, що до початку XVII ст. слово «газ» не вживалося. Це слово винайшов бельгійський лікар Ж. Б. ван Гельмонт (1577—1644), відчувши потребу в ньому після появи нової ідеї про існування різних видів «повітря». Ван Гельмонт відкрив утворення невідомого газу (який тепер називають карбон(IV) оксидом) під час взаємодії вапняку з кислотою й установив, що цей газ відрізняється від повітря — він важчий за повітря і під час вдихання не підтримує життя. Гельмонт установив також, що точно такий самий газ утворюється під час ферментативного бродіння і що цей самий газ є в Собачій печері в Італії, де собаки задихаються (оскільки карбон(IV) оксид, який проникає з розколин на дні печери, витісняє повітря з її нижньої частини).

Протягом XVII і XVIII ст. було відкрито й інші гази, зокрема водень, кисень і азот, та вивчено багато їхніх властивостей. Проте майже до кінця XVIII ст. ці три гази не вважали простими речовинами. Фундамент сучасної хімії було закладено лише тоді, коли Лавуазьє встановив, що кисень є простою речовиною, а горіння — це процес сполучення з киснем.

Гази значно відрізняються від рідин і твердих тіл тим, що об'єм певної кількості газу сильно залежить від температури й тиску, під яким він перебуває. Об'єм певної кількості, наприклад 1 кг рідкої води, залишається по суті сталим за деякої зміни температури й тиску. Підвищення тиску від 1 до 2 атм супроводжується зменшенням взятого об'єму рідкої води менш ніж на 0,01%, а підвищення температури від 0 до 100°C призводить до збільшення об'єму лише на 2%. Водночас об'єм зразка повітря при підвищенні тиску від 1 до 2 атм зменшується наполовину, а при підвищенні температури від 0 до 100°C збільшується на 36,6%.

Можна зрозуміти, чому ці цікаві явища привертали увагу вчених у початковий період розвитку сучасної хімії, коли розроблялися кількісні експериментальні методи вивчення природи, і чому багато фізиків і хіміків минулого століття присвятили свою працю розробленню наукової теорії, що дає змогу пояснити поведінку газів. Основні положення цієї теорії подано в додатку III.

Крім бажання зрозуміти цю галузь фізичного світу, є й інша, практична причина, що спонукає вивчати газові закони. Ця причина пов'язана з необхідністю вимірювати кількості газів. Найзручнішим способом визначення кількості матеріалу в твердому зразку є його зважування. Цей метод можна застосовувати і в разі рідин. Крім того, можна виміряти об'єм рідин, і якщо потрібно знати вагу, то досить помножити об'єм на густину, яка має бути відома з попередніх дослідів. Гази незручно зважувати через те, що їхня густина дуже мала; водночас об'ємні вимірювання можна проводити незрівнянно точніше й простіше, користуючись посудинами відомого об'єму. Почасти з цих міркувань вивчення залежності між тиском, об'ємом і температурою газів належить до галузі хімії.

Дослідним шляхом було встановлено, що за низької густини всі звичайні гази поводяться приблизно однаково. Характер цієї поведінки описується законами ідеального газу (які для стислості часто називають просто газовими законами).

Досліди з вивчення залежності об'єму газу від тиску показали, що майже для всіх газів об'єм даної кількості газу за сталої температури обернено пропорційний тиску; це означає, що за дотримання зазначених умов добуток тиску на об'єм газу є сталим:

PV=const (за сталої температури і сталого числа молів газу).

Це рівняння виражає закон Бойля, установлений 1662 р. на підставі експериментальних даних англійським природодослідником Робертом Бойлем (1627—1691).

Але поряд зі звичайними газами, такими як кисень, водень, азот, карбон(II) оксид, карбон(IV) оксид та інші, для яких справедливий закон Бойля, є деякі гази, що цього закону не дотримуються. Одним із таких газів є нітроген(IV) оксид NO₂, молекули якого можуть сполучатися в подвійні молекули динітроген тетраоксиду N₂O₄. За звичайних умов у цьому газі є певна кількість молекул NO₂ і певна кількість молекул N₂O₄. Зміна тиску, під яким перебуває зразок газу, призводить до зміни співвідношення числа молекул кожного виду, а це зумовлює складний характер залежності об'єму від тиску замість простої залежності, що описується законом Бойля. Таке явище розглянуто в розд. 10.

1787 р. французький фізик Жак Олександр Шарль (1746—1823) установив, що різні гази однаковою мірою збільшують свій відносний об'єм за одного й того самого підвищення температури. Ці роботи продовжили 1801 р. Дальтон в Англії та 1802 р. Жозеф Луї Гей-Люссак (1778—1850), якому вдалося встановити величину розширення газу під час нагрівання на 1°C. Він виявив, що під час нагрівання на 1 градус стоградусної шкали об'єми всіх газів збільшуються на 1/273 свого об'єму при 0°C. Таким чином, газ, що займає об'єм 273 мл при 0 °C, має об'єм 274 мл при температурі 1°C і тому самому тиску, 275 мл при 2°C, 373 мл при 100°C і т. д.

Нині закон, що визначає залежність об'єму газу від температури, який називають законом Шарля і Гей-Люссака, формулюють таким чином: якщо тиск і число молів газу залишаються сталими, то об'єм цього газу пропорційний абсолютній температурі:

V = const×T (тиск і число молів сталі).

Таким чином, об'єм пропорційний абсолютній температурі й обернено пропорційний тиску. Характер цих двох залежностей показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. а — крива залежності об'єму зразка газу, що містить стале число молекул і перебуває за сталої температури, від тиску; б — крива залежності об'єму зразка газу, що містить стале число молекул і перебуває за сталого тиску, від температури.

Закон Бойля, закон Шарля і Гей-Люссака та закон Авогадро можна подати одним рівнянням

PV=nRT.

У цьому рівнянні P — тиск, під яким перебуває дана кількість газу; V — об'єм, який займає газ; n — число молів у цій кількості газу; R — величина, що називається газовою сталою; T — абсолютна температура.

Газова стала R має числове значення, яке залежить від одиниць, у яких її вимірюють (тобто від одиниць, прийнятих для вимірювання P, V, n і T). Якщо P вимірюють в атмосферах, V — у літрах, n — у молях, а T — у градусах Кельвіна, то значення R дорівнюватиме 0,0820 л·атм·моль^-1·К^-1 (точніше 0,08206 л·атм·моль^-1·К^-1); R також має значення 8,3146 Дж·К^-1·моль^-1. Величина R/N (де N — число Авогадро) називається сталою Больцмана і позначається значення цієї сталої 13,805·10^-24 Дж·К^-1.

Об'єм, який займає один моль ідеального газу за стандартних умов, дорівнює 22,415 л (22,415·10^-3 м³).

Можливості використання рівняння ідеального газу під час розв'язання хімічних задач ілюструються такими прикладами.

За даними вимірювань, газ займає об'єм 1000 мл за тиску 730 мм рт. ст. Який об'єм він займатиме за нормального атмосферного тиску, тобто за 760 мм рт. ст.?

Розв'язання. Позначимо символом P₁ початковий тиск 730 мм рт. ст., а символом V₁ — початковий об'єм 1000 мл газу. Позначимо через P₂ змінений тиск (760 мм рт. ст.), а через V₂ — змінений об'єм, який потрібно визначити. Із закону Бойля відомо, що добуток PV — стала величина; отже, можна записати P₁V₁=P₂V₂

або

730 мм рт. ст.× 1000 мл = 760 мм рт. ст.× V₂.

Розв'язуючи це рівняння відносно V₂, дістанемо

$ V_{2} = \frac{\text{730 мм рт. ст.}}{\text{760 мм рт. ст.}}\times\text{1000 мл} = \text{960 мл}$

Існує й інший спосіб розв'язання цієї задачі, який потребує деяких міркувань і допомагає уникнути помилок. Неважко помітити, що закон Бойля має таку форму, що об'єм змінюється пропорційно коефіцієнту, який дорівнює відношенню двох тисків. Отже, можна розрахувати кінцевий об'єм, помноживши початковий об'єм на відношення 730/760. (Множення на обернене відношення 760/730 було б помилкою, оскільки збільшення тиску завжди призводить до зменшення об'єму, а тому коефіцієнт має бути меншим від одиниці.) Таким чином, шуканий об'єм дорівнює

730/760×1000 мл = 960 мл. 

До якої температури потрібно нагріти певну кількість газу від 0°C (за підтримання сталого тиску), щоб його об'єм збільшився вдвічі?

Розв'язання. За сталого тиску об'єм газу пропорційний абсолютній температурі. 0°C = 273 К. Отже, об'єм збільшиться вдвічі за 2×273 = 546 К або за 546 К —273 К=273°C.

Яка кількість гелію потрібна для заповнення балона місткістю 10 000 л, призначеного для підйому без втрати газу на висоту, де тиск становить 200 мм рт. ст., а температура —10°C, якщо такий балон запускають від рівня моря (тиск 1 атм) за температури 25 °C?

Розв'язання. Із рівняння ідеального газу випливає, що для даної кількості газу (n — стала величина) PV/T=const.

Отже,

$\frac{10000\times200}{263}=\frac{V\times760}{298},$

$V=\frac{298}{263}\times\frac{200}{760}\times10000=3080л.$

Розрахуйте об'єм, який займатиме за 20°C і тиску 1 атм газоподібний карбон(IV) оксид,, що утворився зі 100 см³ твердого карбон(IV) оксиду, який має густину 1,53 г·см^-3.

Розв'язання. 100 см³ твердого карбон(IV) оксиду CO₂ важать 153 г. Молекулярна маса CO₂ дорівнює 44; отже, n — число молів CO₂ у 100 см³ твердої речовини — дорівнюватиме 153/44=3,477.

PV=nRT або V=nRT/P = (3,477 моля×0,08206 л·атм·моль^-1·К^-1 ×293 К)/1 атм = 8,36 л.

4.1. Що таке елемент? Чи можна хімічними методами строго довести, що та чи інша речовина є елементом? Чи можна хімічними методами строго довести, що досліджувана речовина є сполукою?

4.2. Опишіть два хімічні досліди, які доводили б, що вода не є елементом. Чи можна навести хімічний доказ того, що Оксиген є елементом?

4.3. Під час горіння бензину утворюються вода і карбон(IV) оксид. Чи може це бути достатнім підтвердженням того, що бензин не є елементом?

4.4. На підставі діаграми Мозлі (рис. 4.2) передбачте приблизне значення довжини хвилі K_α -лінії рентгенівського випромінювання Аргону. Висловіть свої міркування, чому цю лінію не було виміряно Мозлі?

4.5. Дайте визначення ізотопа, нукліда, масового числа, N, A, Z і дальтона.

4.6. Який атомний номер і яка приблизна атомна маса елемента, ядро якого складається з 81 протона і 422 або 122 (на думку редакції сайту) нейтронів? Напишіть повне позначення цього нукліда із зазначенням хімічного символу, атомного номера, масового числа і числа нейтронів.

4 7. Скільки протонів і скільки нейтронів містить ядро ізотопа Кобальту з масовим числом 60? Ізотопа Нікелю з масовим числом 60? Ізотопа Плутонію з масовим числом 238?

4.8. Атом ⁹⁰Sr випускає бета-промені. Який атомний номер і яке масове число має ядро, що утворюється внаслідок цього процесу? Що це за елемент? Своєю чергою, ядро, що утворилося, також випускає бета-промені. До утворення якого нового ядра це призводить?

4.9. Аргон, Калій і Кальцій мають нукліди з масовим числом 40. Скільки протонів і скільки нейтронів міститься в кожному з цих трьох ядер?

4.10. Які відносні переваги мають хімічні шкали атомних мас, засновані на H=1,000, ¹⁶O=16,00000 і ¹²C=12,00000?

4.11. Які труднощі виникнуть, якщо число Авогадро прийняти рівним 1,00000·10²⁴? Які одиниці доведеться змінити?

4.12. Шляхом підрахунку спалахів світла, що виникають під час ударів α-частинок об екран, вкритий цинк сульфідом, Вільям Рамзай і Фредерік Содді встановили, що 1 г радію випускає за 1 с 13,8·10¹⁰ α-частинок (ядер атомів Гелію). Вони виміряли також кількість газоподібного гелію, що утворюється таким чином, і встановили, що за рік з 1 г радію утворюється 0,158 см³ гелію (за 0°C і 1 атм). За такої температури і такого тиску 1 л гелію важить 0,179 г. Якщо взяти стільки атомів Гелію, щоб їхнє число дорівнювало числу Авогадро, то вони важитимуть 4,003 г (атомна маса Гелію дорівнює 4,003). Користуючись цими даними, обчисліть приблизне значення числа Авогадро.

4.13. Яким є відсотковий вміст (за масою) елементів в етанолі C₂H₅OH?

4.14. Етанол згоряє відповідно до реакції C₂H₅OH+3O₂ → 2CO₂+3H₂O. Скільки води (у вагових одиницях) утворюється під час згоряння 1 кг етанолу?

4.15. Скільки вугілля (вважаючи його чистим вуглецем) потрібно для відновлення однієї тонни Fe₂O₃ до заліза? Скільки заліза при цьому буде отримано?

4.16. Який точний зміст має твердження, що атомна маса Самарію дорівнює 150,35?

4.17. Природний Талій є сумішшю ізотопів ²⁰³Tl і ²⁰⁵Tl . Виходячи зі значення атомної маси природного Талію 204,39, розрахуйте ізотопний склад Талію. Атомна маса ²⁰³Tl дорівнює 202,97, а атомна маса ²⁰⁵Tl становить 204,97.

4.18. Густина NaCl (кр.) дорівнює 2,165 г·см^-3. Розрахуйте мольний об'єм і, користуючись числом Авогадро, об'єм елементарної кубічної комірки кристала, що містить чотири атоми Натрію і чотири атоми Хлору; обчисліть значення a — ребра кубічної комірки. (Цим методом користувалися Брегги під час визначення довжин хвиль рентгенівських променів.)

4.19. Які методи застосовують для визначення атомних мас?

4.20. Що таке число Авогадро? У чому полягає закон Авогадро?

4.21. Чисельність населення земної кулі становить приблизно 4·10⁹ осіб. А в якому об'ємі газу за стандартних умов міститься таке число молекул?

4.22. Температура кипіння S₂F₁₀ за нормального тиску дорівнює 29 °C. Яка густина газу за цієї температури і тиску 1 атм? У скільки разів ця густина перевищує густину водню?

4.23. Який об'єм у кубічних футах за стандартних умов відповідає молекулярній масі газу, вираженій в унціях?* [Відповідь: 22,4.]

4.24. Чому дорівнює вага в унціях 22,4 куб. футів карбон(IV) оксиду за стандартних умов? [Відповідь: 44.]

4.25. Густина гідроген ціаніду за стандартних умов дорівнює 1,29 г·л^-1. Розрахуйте позірну молекулярну масу парів гідроген ціаніду.

* Цікаво в зв'язку з цим зазначити, що існує старе визначення унції як однієї тисячної ваги одного кубічного фута льодяної води.