Принцип неопределенности — важное положение квантовой механики, открытое в 1927 г. немецким физиком Вернером Гейзенбергом (1901—1976). Гейзенберг показал, что вследствие корпускулярно-волновой двойственности материи невозможно одновременно точно определить положение частицы и ее скорость. Он показал также невозможность точного определения энергии системы в тот или иной момент времени.
Принцип неопределенности в квантовой механике тесно связан с неопределенностью уравнения, устанавливающего зависимость между частотой и временем для любого вида волн. Рассмотрим, например, волны океана, омывающие буй, закрепленный на якоре в определенной точке. Наблюдатель на буе может измерить частоту (число волн, проходящих у буя в единицу времени) во время t0 и путем подсчета числа гребней и впадин, проходящих у буя в интервале между t0–Δt и t0+Δt, деления на 2 для получения числа волн, прошедших за отрезок времени 2Δt, и деления на 2Δt для получения частоты (ν), которая определяется как число волн в единицу времени:
$\nu=\frac{число гребней + число впадин}{2\times2\triangle t}$
Результат такого измерения приводит к среднему значению за период 2Δt вблизи t0; это можно описать как результат, найденный для момента времени t0 с неопределенностью Δt. Имеется также неопределенность и в частоте. Гребень А (рис. 3.18) можно учесть при подсчете, а можно и не учитывать, как и впадину Z. Таким образом, существует неопределенность, равная приблизительно 2 в числе гребней плюс число впадин, а следовательно, около 1/2 Δt; в частоте
$\triangle\nu = \frac{2}{2 \times2\triangle t}=\frac{1}{2\triangle t}.$
Рис. 3.18. Схема, иллюстрирующая неопределенность значения частоты, устанавливаемой путем подсчета числа волн, проходящих через данный пункт за некоторый период времени.
Это уравнение можно переписать в виде Δν × Δt = 1/2. Более детальное рассмотрение, основанное на положениях теории ошибок, приводит при определении Δν и Δt к обычной форме уравнения неопределенности для частоты и времени:
$\triangle\nu\times\triangle t=\frac{1}{2\pi}.$ (3.8)
На основании квантовой теории это уравнение легко можно преобразовать в уравнение неопределенности энергии и времени для фотонов. Энергия фотона с частотой ν равна hν. Неопределенность частоты Δν, умноженная на h, представляет собой неопределенность энергии ΔE
ΔE=hΔν.
Подставляя это соотношение в уравнение (3.8), получим уравнение неопределенности энергия-время
$\triangle E\times\triangle t=\frac{h}{2\pi}.$ (3.9)
Путем анализа результатов многих экспериментов, проведенного на основе квантовой теории, установлено, что это соотношение соблюдается для любой системы. Только измеряя энергию системы в течение длительного периода, можно получить результаты, имеющие небольшую ошибку.
Пример 3.8.
Натрий в газообразном состоянии, возбужденный электрическим разрядом, испускает желтый свет (D-линии с длиной волны 589,0 и 589,6 нм). Скорость, с которой испускаются фотоны D-линий, была определена путем измерения интенсивности этих линий как линий поглощения газообразного натрия. Оказалось, что эта скорость соответствует среднему времени жизни возбужденных состояний 1,6·10-6 с. (Среднее время жизни большинства возбужденных состояний атомов имеет примерно такое же численное значение.) Приводит ли это значение среднего времени жизни к расширению спектральных линий?
Решение. Используем принцип неопределенности для подтверждения того, что последовательность волн, соответствующая фотону, излученному атомом, образовалась на протяжении времени, приблизительно равного среднему времени жизни возбужденного состояния атома. Частота, отвечающая длине волны λ =0,589·10-6 м, равна ν = c/λ=З·108/0,589·10-6=5,09·1014 с-1. Неопределенность частоты, соответствующая неопределенности времени Δt=1,6·10-8 с, согласно уравнению (3.8), равна Δν=1/(2π×Δt) —1/(2π×1,6·10-8) =1,00·107 с-1. Таким образом, относительная неопределенность частоты составляет Δν/ν= 1,00·107/5,09·1014= 1,96·10-8. Это в то же время является и значением Δλ/λ — относительной неопределенностью длины волны. Отсюда можно рассчитать и величину Δλ= 1,96·10-8×0,589·10-6= 1,15·10-14 м.
Следовательно, неопределенность частоты этих линий предопределяет ширину линии, составляющую примерно 1/50 000 000 длины волны. Такое расширение линии обычно маскируется другими эффектами. Тем не менее некоторые возбужденные состояния атомов, энергия которых превышает энергию ионизации, имеют среднее время жизни только 10-12 c ввиду очень быстрого распада на электрон и положительный ион, и спектральные линии, образующиеся с участием этих состояний как высших состояний, получаются приблизительно на 0,1 нм шире.
Из принципа неопределенности между положением частицы и ее моментом следует, что произведение неопределенности в одной из координат х, у, z, описывающих положение, например Δх, и неопределенности в соответствующей составляющей момента Δ(mvx), равно или больше h/2π:
$\triangle x\times\triangle (mv_{x})\geq\frac{h}{2\pi}.$ (3.10)
Упражнения
3.1. Какое упрощение, важное для понимания природы электричества, предложил Бенджамин Франклин? Какое из его допущений теперь считается ошибочным?
3.2. Кто и когда предложил название «электрон»? Кто и когда экспериментально открыл электрон? Где это было сделано?
3.3. Сколько электронов содержится в 1 кг электронов? Сколько электронов в 1 Кл?
3.4. Когда Резерфорд установил, что атомы имеют очень маленькие и в то же время очень тяжелые ядра? Что значит в этой фразе «очень тяжелые»?
3.5. Сколько протонов содержится в 1 кг протонов? Сколько нейтронов в 1 кг нейтронов? Как эти числа соотносятся с числом электронов в 1 кг электронов? Чему равен электрический заряд (Кл) протона и электрона?
3.6. Из чего состоят ядра обычного водорода, дейтерия и гелия?
3.7. Что такое электрическое поле? Что такое магнитное поле?
3.8. Сформулируйте закон притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами. Как изменяется сила, действующая между двумя заряженными частицами, если:
а) расстояние между ними увеличивается вдвое?
б) заряд одной из частиц увеличивается вдвое?
в) заряды обеих частиц увеличиваются вдвое?
3.9. Опишите движение электрона, пересекающего пространство между двумя параллельными пластинами, несущими противоположные электрические заряды. Опишите также движение электрона, пересекающего пространство между полюсами магнита.
3.10. Опишите эксперименты Жана Перрена и Дж. Дж. Томсона, позволившие открыть электрон.
3.11. Опишите опыт Милликена с масляными каплями. Почему необходимо знать вязкость воздуха, чтобы по данным измерений вычислить величину заряда электрона?
3.12. Какие неожиданные наблюдения привели к открытию рентгеновских лучей и радиоактивности? Кто и когда их открыл?
3.13. Что такое альфа-, бета- и гамма-лучи? В чем заключается различие между гамма- и рентгеновскими лучами?
3.14. Опишите опыт Резерфорда и объясните, почему сделанные им наблюдения свидетельствуют о том, что большая часть массы атома сосредоточена в очень небольшой частице — ядре.
3.15. Какое существует соотношение между длиной волны, скоростью волны и частотой? В каких единицах измеряются эти величины?
3.16. Начертите схему спектра электромагнитных волн, показывающую длины волн, частоты и принятые названия для разных областей спектра.
3.17. Что представляет собой фотон и какова его энергия, выраженная через длину волны? Укажите единицы измерения
3 18. Чему равна энергия кванта синего света с длиной волны 450 нм? Чему равна энергия кванта красного света с длиной волны 700 нм?
3.19. Какова минимальная длина волны рентгеновского излучения, испускаемого трубкой, работающей под напряжением 1 000 000 В?
3.20. Вычислите скорость, с которой будут двигаться электроны в установке, примененной Дж. Дж. Томсоном, при ускоряющем потенциале 6000 В. (Относительным изменением массы можно пренебречь.)
3.21. В примере 3.6 данной главы приведен расчет, согласно которому свет, падающий на 1 см2 поверхности Земли в солнечный день, может вызывать фототок силой 5,22 мА.
а) Какому напряжению в вольтах соответствует длина волны 650 нм (средняя длина волны солнечного света)?
б) Приняв, что солнечная электростанция работает в среднем 6 ч/сутки с к.п.д. 10%, рассчитайте среднюю мощность солнечной электростанции, работающей в пустыне и имеющей поверхность солнечных батарей 100 км2. [Ответ: а) 1,91 В; б) 25 МВт.]